Piotr Śliwiński jest wychowankiem MKS MOS Wrocław z którym dwukrotnie dotarł do ćwierćfinałów Mistrzostw Polski Juniorów. W seniorskich rozgrywkach debiutował w barwach pierwszoligowego Boru Oborniki Śląskie w okresie 2020/2021. Kolejne dwie kampanie spędził w Śląsku Wrocław, na parkietach Ligi Centralnej.
Przez ostatnie dwa sezony był zawodnikiem MKS-u Wieluń. W rozgrywkach 2023/2024 był czołową postacią ekipy z województwa łódzkiego, która nie zdołała utrzymać się w Lidze Centralnej. w okresie 2024/25 zaliczany był do najlepszych bramkarzy w grupie C I ligi. Łączny dorobek Piotra Śliwińskiego w seniorskim handballu to 67 występów w Lidze Centralnej i 35 w